Степени и корни
Операции со степенями и корнями.
Степень с отрицательным,
нулевым и дробным
показателем. О выражениях, не имеющих смысла.
Операции со
степенями.
1. При умножении степеней с
одинаковым основанием их показатели складываются:
a m
·
a n = a m + n .
2. При делении степеней с
одинаковым основанием их показатели
вычитаются.
3. Степень
произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению
степеней этих сомножителей.
(
abc…
) n
=
a n
·
b
n
·
c
n
…
4. Степень отношения (дроби) равна
отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):
(
a
/ b
)
n
= a
n
/ b
n
.
5. При возведении степени в
степень их показатели перемножаются:
(
a
m
)
n
= a
m
n
.
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих
направлениях слева направо и наоборот.
П р и
м е р . ( 2
·
3
·
5 / 15 )
²
=
2
²
·
3
²
·
5
²
/ 15
²
= 900 / 225 = 4 .
Операции с корнями.
Во всех нижеприведенных формулах символ
означает арифметический корень (подкоренное выражение
положительно).
1.
Корень из произведения
нескольких сомножителей равен произведению
корней из этих сомножителей:
2.
Корень
из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
3. При
возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень
подкоренное число:
4. Если
увеличить степень корня в n
раз и одновременно возвести в
n-ую
степень подкоренное число, то значение корня не изменится:
5.
Если уменьшить степень корня
в n
раз и одновременно извлечь корень
n-ой
степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:
Расширение понятия
степени. До
сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем;
но
действия
со
степенями и корнями
могут приводить также к отрицательным, нулевым и
дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют
дополнительного определения.
Степень с отрицательным
показателем. Степень
некоторого числа с
отрицательным (целым) показателем
определяется как единица, делённая
на степень того же числа с
показателем, равным абсолютной велечине
отрицательного показателя:
Теперь
формула a
m
:
a
n
=
a
m
-
n
может быть использована не
только при m
, большем, чем
n
, но и при m
, меньшем, чем n
.
П р и м е р
. a4
: a7
= a 4
-
7 = a
-3
.
Если
мы хотим, чтобы формула a
m
:
a n
=
a m
- n
была
справедлива при m
= n
, нам необходимо
определение нулевой степени.
Степень
с нулевым показателем.
Степень любого ненулевого числа с
нулевым показателем равна 1.
П р и м е р ы . 2 0 = 1,
( – 5 ) 0 = 1, ( – 3 / 5 ) 0 = 1.
Степень с дробным показателем.
Для того, чтобы возвести действительное число
а
в степень
m
/
n
, нужно извлечь корень
n–ой
степени из
m-ой
степени этого числа
а
:
О выражениях, не
имеющих смысла.
Есть несколько таких
выражений.
Случай 1.
где
a
¹
0
, не
существует.
В самом деле, если предположить, что 
где
x
– некоторое число, то
в соответствии с
определением операции деления
мы имеем: a
= 0
·
x, т.e.
a
= 0, что противоречит условию:
a
¹
0
.
Случай 2.
- любое число.
В самом деле, если
предположить, что это выражение равно некоторому числу
x,
то согласно определению операции деления: 0 = 0
·
x
. Но это равенство имеет место при любом числе
x
, что и
требовалось доказать.
Случай 3.
Если считать, что правила действий со
степенями распространяются и на
степени
с нулевым основанием, то
0 0
- любое число.
Действительно,
Р е ш е н и е .
Рассмотрим три основных случая:
1)
x
= 0 – это значение не
удовлетворяет данному уравнению
(
Почему? ).
2) при
x
> 0 получаем: x
/ x
= 1, т.e.
1 = 1, откуда следует,
что
x
– любое число; но принимая во внимание, что в
нашем
случае x
> 0 , ответом является x
> 0 ;
3) при
x
< 0 получаем: – x
/ x
= 1, т.e.
–1 = 1, следовательно,
в этом
случае нет решения.
Таким образом,
x
> 0.
| 
