Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) ² = 15x+10 можно заменить следующим равносильным:  9x² + 12x + 4 = 15x + 10 .

Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »:  9x² + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего получим:  9x² – 3x – 6 = 0 .

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как  новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.

П р и м е р .  Уравнение  x – 1 = 0  имеет единственный корень x = 1.

                      Умножив обе его части на  x – 3 , мы получим уравнение

                      ( x – 1 )( x – 3 ) = 0,  у которого два корня:  x = 1 и  x = 3.

                      Последнее значение не является корнем заданного уравнения 

                       x – 1 = 0.  Это так называемый посторонний корень.  

                      И наоборот, деление может привести к потере корня. Так

                      в нашем случае, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным

                      уравнением, то корень  x = 3  будет потерян при делении

                      обеих частей уравнения на  x – 3 .

В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:

Это уравнение равносильно исходному:

Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени. Необходимо помнить, что:

        а)  возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;

        б)  неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.

П р и м е р ы .   Уравнение  7x = 35  имеет единственный корень x = 5 .  

                           Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

                           уравнение:

                                                              49x² = 1225 .

                           имеющее два корня:  x = 5  и  x = – 5. Последнее значение

                           является посторонним корнем.

                           Неправильное извлечение квадратного корня из обеих

                           частей уравнения  49x² = 1225 даёт в результате 7x = 35,

                           и мы теряем корень  x = – 5.

                           Правильное извлечение квадратного корня приводит к

                           уравнению: | 7x | = 35,  а следовательно, к двум случаям: 

                             1)  7x = 35, тогда  x = 5 ;      2)  – 7x = 35, тогда  x = – 5 .

                           Следовательно, при правильном извлечении квадратного

                           корня мы не теряем корней уравнения.

                           Что значит правильно извлечь корень? Здесь мы встречаемся

                           с понятием арифметического корня (см. параграф

                           “Арифметический корень”).