Теоремы, аксиомы, определения
Доказательство. Теорема. Аксиома.
Начальные понятия. Определение.
Доказательство
– рассуждение,
устанавливающее какое-либо свойство.
Теорема
– утверждение,
устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства.
Теоремы
называются также леммами,
свойствами,
следствиями, правилами, признаками,
утверждениями. Доказывая
теорему,
мы основываемся на ранее
установленных свойствах; некоторые их них
также являются теоремами.
Однако некоторые свойства рассматриваются
в геометрии как основные и
принимаются без доказательств.
Аксиома
–
утверждение, устанавливающее некоторое
свойство и принимаемое без доказательства.
Аксиомы
возникли из опыта, и опыт же проверяет
их истинность в совокупности. Можно построить систему аксиом
различными способами. Однако
важно, чтобы принятый набор аксиом был
минимальным
и достаточным для доказательства всех остальных геометрических свойств.
Заменяя в этом наборе одну аксиому другой, мы должны
будем доказывать заменённую
аксиому, так как она теперь уже не аксиома, а теорема.
Начальные понятия.
В геометрии ( и вообще, в
математике ) существуют понятия, которым невозможно дать
сколько-нибудь осмысленное
определение. Мы их принимаем как начальные понятия. Смысл этих понятий
может
быть установлен только на основании опыта. Так, понятия точки и прямой
линии являются начальными. На основе начальных понятий мы можем
дать определения всем остальным понятиям.
| 
