Геометрическое место точек. Круг и окружность
Геометрическое место точек.
Срединный перпендикуляр.
Биссектриса угла.
Окружность. Круг.
Центр окружности. Радиус. Дуга. Секущая. Хорда.
Диаметр. Касательная и её свойства. Сегмент. Сектор. Углы в круге.
Длина дуги.
Радиан. Соотношения между элементами
круга.
Геометрическое место точек
– это множество всех
точек, удовлетворяющих
определённым заданным условиям.
П р и м е р 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть
геометрическое
место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых
от
концов этого отрезка. Пусть PO 
AB и
AO = OB :
Тогда, расстояния от любой точки P,
лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов
A и B отрезка AB
одинаковы и равны d .
Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра
отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.
П р и м е р 2.
Биссектриса угла
есть
геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон.
П р и м е р 3. Окружность есть геометрическое место точек
(т.е. множество
всех точек),
равноудалённых от её центра (
на рис. показана
одна
из
этих точек – А ).
Окружность -
это
геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) на плоскости,
равноудалённых
от одной точки,
называемой
центром окружности.
Отрезок, соединяющий центр
окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается
r
или
R.
Часть плоскости,
ограниченная окружностью, называется кругом.
Часть
окружности (
AmB,
рис.39
)
называется дугой.
Прямая
PQ,
проходящая через точки
M
и
N
окружности
(
рис.39
), называется секущей, а её отрезок
MN,
лежащий внутри окружности - хордой.
Хорда, проходящая через центр круга ( например, BC,
рис.39 ), называется диаметром
и обозначается d или D
. Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум
радиусам ( d = 2 r
).
Касательная. Предположим,
секущая PQ ( рис.40 ) проходит через точки K
и M окружности. Предположим также, что точка M
движется вдоль окружности, приближаясь к точке K. Тогда
секущая PQ будет менять своё положение, вращаясь вокруг
точки K. По мере приближения точки M
к точке K секущая PQ будет
стремиться к некоторому предельному положению АВ. Прямая AB
называется касательной к окружности в точке K.
Точка K называется точкой касания. Касательная и
окружность имеют только одну общую точку – точку касания.
Свойства касательной.
1) Касательная
к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному
в точку касания (
AB
OK, рис.40 ) .
2) Из точки, лежащей вне круга, можно провести две
касательные к
одной и той
же окружности;
их отрезки
равны
( рис.41 ).
Сегмент – это
часть
круга,
ограниченная дугой ACB и
соответствующей хордой AB ( рис.42 ). Длина
перпендикуляра CD, проведенного из середины хорды
AB до пересечения с дугой ACB, называется
высотой сегмента.
Сектор – это
часть круга, ограниченная дугой
AmB и
двумя радиусами OA
и OB,
  проведенными
к концам этой дуги ( рис.43 ).
Углы в круге.
Центральный угол – угол, образованный двумя
радиусами ( AOB,
рис.43 ). Вписанный угол – угол, образованный двумя
хордами AB и AC, проведенными из
их одной общей точки (
BAC, рис.44 ). Описанный
угол – угол, образованный двумя касательными AB
и AC, проведенными из одной общей точки ( BAC,
рис.41 ).
Длина дуги
окружности
пропорциональна её радиусу
r
и соответствующему
центральному углу  :
l = r
Таким образом, если мы знаем длину дуги
l
и радиус
r, то величина соответствующего центрального угла
может
быть определена их отношением:
= l / r .
Эта формула является основой для
определения радианного измерения углов. Так, если
l
= r,
то
= 1, и мы говорим, что
угол
равен
1 радиану ( это обозначается:
= 1 рад ). Таким
образом, мы имеем следующее определение радиана как единицы измерения углов: радиан
– это центральный угол ( AOB,
рис.43 ),
у
которого длина дуги равна её радиусу
(
AmB
= AO,
рис.43 ).
Итак, радианная мера любого угла – это отношение длины дуги,
проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к её
радиусу. В частности, в соответствии с формулой длины дуги, длина окружности
C может быть выражена следующим образом:
C = 2 r,
где
определяется как
отношение C
к диаметру круга 2r
:
= C / 2 r .
- иррациональное число; его
приближённое значение 3.1415926…
С другой стороны, 2
- это круговой угол окружности, который в градусной
системе измерения равен 360º. На практике часто случается, что как радиус дуги,
так и угол неизвестны. В этом случае длина дуги может быть вычислена по
приближённой формуле Гюйгенса:
p  2l + ( 2l – L ) / 3 ,
где ( см. рис.42 ):
p
– длина дуги ACB;
l
– длина хорды AC;
L
– длина хорды AB. Если дуга содержит не более чем
60º,
относительная погрешность этой формулы не превышает 0.5%.
Соотношения между
элементами круга.
Вписанный угол
(
ABC, рис.45
) равен половине
центрального угла,
опирающегося на ту же дугу
AmC
( AOC,
рис.45 ).
Поэтому, все
вписанные углы ( рис.45
), опирающиеся на одну и ту
же дугу
( AmC, рис.45
), равны. А так как центральный угол
содержит то же количество градусов,
что и его дуга (
AmC,
рис.45 ), то любой вписанный угол измеряется
половиной дуги, на которую он опирается ( в
нашем случае
AmC
).
Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг
(APB, AQB,
…, рис.46
), прямые (
Докажите это, пожалуйста! ).
Угол (AOD,
рис.47
), образованный двумя хордами (
AB и
CD ), измеряется
полусуммой дуг, заключённых между его сторонами:
(
AnD + CmB
) / 2 .
Угол (AOD,
рис.48 ),
образованный двумя секущими
(
AO и
OD ), измеряется
полуразностью дуг,
заключённых между его сторонами:
(
AnD –
BmC )
/
2.
Угол (DCB,
рис.49
), образованный касательной и хордой (
AB и
CD ), измеряется
половиной
дуги,
заключённой
внутри
него:
CmD /
2.
Угол
(BOC,
рис.50
), образованный касательной и
секущей
(
CO и
BO ), измеряется
полуразностью дуг, заключённых между его
сторонами: ( BmC
–
CnD ) / 2 .
Описанный угол (AOC,
рис.50
), образованный двумя касательными (
CO и
AO ), измеряется
полуразностью дуг, заключенных между его
сторонами: (
ABC –
CDA ) / 2 .
Произведения отрезков
хорд (
AB
и CD,
рис.51 или рис.52 ), на которые они делятся точкой пересечения,
равны: AO
· BO
= CO
· DO.
Квадрат касательной равен произведению секущей на её
внешнюю часть (
рис.50
): OA2
=
OB
·
OD
( докажите! ). Это свойство можно рассматривать как частный
случай
рис.52.
Хорда ( AB,
рис.53 ), перпендикулярная диаметру ( CD ),
делится в их точке пересечения O пополам:
AO = OB.
(
Попробуйте доказать это!
).
| 
