Параллелограмм и трапеция
Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма.
Прямоугольник. Основные свойства прямоугольника. Ромб.
Квадрат.
Трапеция. Средние линии трапеции и треугольника.
Параллелограмм
(
ABCD, рис.32
) – это
четырёхугольник,
противоположные
стороны которого
попарно
параллельны.
Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его
основаниями, а расстояние между ними – высотой (
BE, рис.32
).
Свойства параллелограмма.
1. Противоположные стороны
параллелограмма равны (
AB =
CD,
AD =
BC ).
2. Противоположные углы
параллелограмма равны (  A =
C, B =
D ).
3. Диагонали параллелограмма делятся в
точке их пересечения пополам ( AO = OC, BO = OD ).
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его четырёх сторон:
AC² + BD²
= AB² + BC²
+ CD² + AD² .
Признаки параллелограмма.
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно
из следующих условий:
1. Противоположные стороны
попарно равны ( AB
= CD, AD = BC
).
2. Противоположные углы попарно
равны (
A =
C,
B =
D ).
3. Две противоположные стороны равны
и параллельны ( AB = CD,
AB || CD ).
4.
Диагонали делятся в точке их пересечения пополам
(
AO
= OC,
BO
= OD
).
Прямоугольник.
Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы
также прямые ( почему ?).
Такой параллелограмм называется прямоугольником
( рис.33 ) .
Основные свойства прямоугольника.
Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
Диагонали прямоугольника равны:
AC = BD.
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его
сторон ( см. выше теорему Пифагора ):
AC 2
= AD
2 + DC
2
.
Ромб. Если все стороны
параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом
( рис.34 ) .
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны
( AC 
BD ) и
делят их углы пополам (
DCA = BCA,
ABD = CBD
и т.д.
).
Квадрат – это
параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами (
рис.35 ). Квадрат является частным
случаем прямоугольника и ромба одновременно; поэтому он
обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.
Трапеция - это
четырёхугольник, у которого две противоположные стороны
параллельны ( рис.36 ).
Здесь AD ||
BC. Параллельные стороны называются основаниями
трапеции, а две другие ( AB и CD )
– боковыми сторонами. Расстояние между основаниями (
BM ) есть
высота. Отрезок EF,
соединяющий средние точки E
и
F
боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
и параллельна им: EF || AD
и EF || BC.
Трапеция с равными боковыми сторонами (
AB = CD
) называется равнобочной
трапецией. В равнобочной
трапеции углы при каждом основании равны ( A = D,
B =
C ).
Параллелограмм может рассматриваться как частный случай
трапеции.
Средняя линия треугольника
– это отрезок, соединяющий
средние точки
боковых сторон
треугольника. Средняя линия
треугольника равна половине
его основания и параллельна ему.
Это свойство вытекает из
предыдущего
пункта, так как треугольник может
рассматриваться как случай вырождения
трапеции, когда одно из её
оснований превращается в точку.
| 
