Треугольник
Треугольник. Остроугольный,
тупоугольный и прямоугольный треугольник.
Катеты и гипотенуза. Равнобедренный
и равносторонний треугольник.
Основные свойства треугольников.
Сумма углов треугольника.
Внешний угол треугольника.
Признаки равенства треугольников.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Замечательные линии и точки в
треугольнике: высоты, медианы,
биссектрисы, срединныe
перпендикуляры, ортоцентр,
центр тяжести, центр описанного
круга, центр вписанного круга.
Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольном треугольнике.
Треугольник
– это многоугольник с тремя
сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми
буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные
вершины.
Если
все
три
угла острые
(
рис.20
),
то
это
остроугольный треугольник.
Если один из углов прямой (
 C, Fig.21 ),
то это прямоугольный треугольник;
стороны a,
b,
образующие прямой угол, называются катетами; сторона
c,
противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из
углов
тупой ( B,
Fig.22 ),
то это
тупоугольный треугольник.
Треугольник
ABC
( рис.23 ) - равнобедренный,
если две его стороны равны (
a
=
c
); эти равные стороны
называются боковыми, третья сторона называется основанием
треугольника. Треугольник ABC
( рис.24 ) – равносторонний,
если все его стороны равны (
a
=
b
=
c
). В
общем случае ( a b
c )
мы имеем
неравносторонний треугольник.
Основные свойства треугольников.
В любом
треугольнике:
1.
Против большей стороны лежит больший
угол, и наоборот.
2.
Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
В частности, все углы в
равностороннем треугольнике равны.
3.
Сумма углов треугольника равна 180
º
.
Из двух последних свойств следует, что каждый угол в
равностороннем
треугольнике равен 60 º.
4. Продолжая
одну из
сторон
треугольника (AC, рис.25),
получаем внешний
угол
BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних
углов,
не смежных с ним:
BCD =
A +
B.
5. Любая
сторона
треугольника
меньше
суммы
двух
других
сторон
и
больше
их разности (
a < b + c, a > b – c;
b < a + c,
b > a – c; c
< a + b, c > a
– b ).
Признаки равенства
треугольников.
Треугольники равны, если у них
соответственно равны:
a)
две стороны и угол между ними;
b)
два угла и прилегающая к ним сторона;
c)
три стороны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Два прямоугольных треугольника равны, если
выполняется одно из следующих условий:
1) равны их катеты;
2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу
другого;
4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и
прилежащему острому углу другого;
5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и
противолежащему
острому углу другого.
Замечательные линии и точки в
треугольнике.
Высота
треугольника - это
перпендикуляр,
опущенный из любой вершины
на противоположную сторону
(
или её продолжение
).
Эта сторона называется
основанием треугольника.
Три высоты
треугольника
всегда
пересекаются
в одной точке,
называемой ортоцентром треугольника.
Ортоцентр остроугольного
треугольника ( точка O,
рис.26 ) расположен внутри треугольника, а
ортоцентр тупоугольного
треугольника ( точка O,
рис.27 ) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с
вершиной прямого угла.
Медиана
– это отрезок,
соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника
(
AD,
BE,
CF,
рис.28 ) пересекаются в
одной точке
O,
всегда лежащей внутри треугольника
и
являющейся
его
центром тяжести.
Эта точка делит каждую
медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса
– это
отрезок биссектрисы
угла
от вершины до
точки
пересечения с противоположной
стороной.
Три биссектрисы треугольника
( AD,
BE,
CF,
рис.29 ) пересекаются в
одной точке О, всегда
лежащей внутри треугольника
и
являющейся центром
вписанного круга (см. раздел «Вписанные
и описанные многоугольники»).
Биссектриса делит противоположную
сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам;
например, на рис.29 AE
: CE
= AB
: BC
.
Срединный перпендикуляр
– это перпендикуляр,
проведенный из средней
точки
отрезка
(стороны).
Три срединных перпендикуляра
треугольника АВС
(
KO,
MO,
NO,
рис.30
) пересекаются в одной точке О,
являющейся центром
описанного круга
( точки K,
M,
N
– середины сторон треугольника
ABC
).
В остроугольном треугольнике эта точка
лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном
-
в середине гипотенузы.
Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и
центр вписанного круга
совпадают только в равностороннем
треугольнике.
Теорема Пифагора. В
прямоугольном треугольнике квадрат длины
гипотенузы равен сумме
квадратов длин катетов.
Доказательство теоремы Пифагора с
очевидностью следует из рис.31.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
ABC
с катетами
a,
b
и гипотенузой
c.
Построим квадрат
AKMB,
используя гипотенузу AB
как сторону. Затем
продолжим стороны
прямоугольного треугольника ABC
так, чтобы получить квадрат
CDEF,
сторона которого равна a
+
b
. Теперь ясно, что площадь
квадрата CDEF
равна (
a
+
b
)
2.
С
другой
стороны,
эта
площадь равна сумме
площадей
четырёх прямоугольных
треугольников
и
квадрата
AKMB,
то есть
c
2
+ 4 ( ab
/ 2 ) = c
2
+ 2 ab
,
отсюда,
c
2 +
2 ab = ( a + b )
2 ,
и окончательно имеем:
c
2
= a
2
+ b 2
.
Соотношение сторон в
произвольном треугольнике.
В общем случае ( для произвольного
треугольника ) имеем:
c
2
= a
2
+ b 2
– 2ab ·
cos C,
где
C
– угол между сторонами a
и b
.
| 
