Аксиомы геометрии Евклида
Аксиома принадлежности. Аксиома
порядка.
Аксиома равенства отрезков и углов.
Аксиома параллельных прямых.
Аксиома непрерывности (Архимеда).
Как мы уже отмечали выше, существует
набор аксиом – свойств, которые
рассматриваются в геометрии как
основные и принимаются без
доказательства. Теперь, после введения некоторых основных понятий и
определений,
мы можем рассматривать следующий
достаточный набор аксиом, обычно
используемых в планиметрии.
Аксиома принадлежности.
Через любые две точки на плоскости можно провести прямую
и притом только одну.
Аксиома порядка. Среди
любых трёх точек, лежащих на прямой, есть не более одной
точки, лежащей между двух других.
Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов.
Если два отрезка (угла)
конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой.
Аксиома параллельных прямых.
Через любую точку, лежащую вне прямой,
можно провести другую прямую,
параллельную данной, и притом только одну.
Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда).
Для любых двух отрезков AB
и CD существует конечный
набор точек A1
, A2
,…, An , лежащих на
прямой AB, таких, что отрезки AA1
, A1A2
,…, An
-
1An
конгруэнтны отрезку
CD, a точка B
лежит между A и An .
Следует подчеркнуть, что замена одной из этих аксиом на другую,
превращает её в теорему, уже требующую доказательства.
Так, вместо аксиомы параллельных прямых можно использовать в качестве аксиомы
свойство углов треугольника («сумма углов треугольника
равна 180º »). Но тогда необходимо доказывать аксиому о
параллельных прямых.
| 
